オイラーに学ぶ : 『無限解析序説』への誘い 野海正俊｜科学・工学

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高校の数学と大学初年級の数学の間のギャップが大きいのはなぜかと考えていて、18世紀の数学がすっぽり抜け落ちているからではないかと思い当たった。そう思ってオイラー（1707-1783）の『無限解析序説』第I巻を覗いたのは、数年前のことである。まだ日本語訳がない頃で、英語版で読んだのだが、その印象は強烈だった。内容の豊かさもさることながら、その現代的な感覚に新鮮な感動を覚えたのである。『無限解析序説』第I巻の主題に沿って、オイラーのどんなところが、どんなふうに面白いのか、その思いを伝えることを本書の目標としたい。『無限解析序説』は、古典ではなく、いまでも「現役の数学書」なんだと思う。

第1章　関数を無限級数で表すこと
関数を無限級数で表すこと　部分分数分解　一般二項定理

第2章　指数関数、対数関数、三角関数
指数関数の級数表示（オイラー風）　無限小を含む等式　冪関数から指数関数・対数関数へ　指数関数と対数関数の級数表示　三角関数のn倍角公式と級数表示　気になること　オイラーの公式　言い残したこと

第3章　多項式の因子分解から無限乗積へ
実係数多項式の因子分解　sinh x と sin x の無限乗積表示　オイラーの議論　いろいろな無限乗積　基本対称式と冪和対称式

第4章　自然数の逆2乗和とその仲間達
基本対称式と冪和対称式　自然数の逆2乗の対称函数　ベルヌイ数との関係　さらなる飛翔

第5章　自然数の逆2乗和とその仲間達（続き）
対数微分のこと　cot x の部分分数展開とその微分　さまざまな符号をもつ冪和　何ができたことになるのか　この後の話題

第6章　分割数の話
分割と分割数　無限乗積を開く　組合せ論的な見方　オイラーの恒等式　残業の分割と奇数を成分とする分割

第7章　五角数定理
五角数定理　五角数定理の意味　q二項定理のこと　sin x の無限乗積表示を模倣する　五角数定理とその仲間達

第8章　連分数のこと
連分数とは　連分数を普通の分数で表すこと　連分数から交代級数へ　交代級数から連分数へ　まとめ　あとがき

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